第1章变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子
本章由变分原理和泛函的概念引入,将泛函驻立值问题转化为微分方程问题,导出Euler-Lagrange方程,从而引出对称性和守恒律中常用的微分算子,作为后续对称性和守恒律分析的预备知识。
1.1变分原理与泛函
变分原理是力学分析中重要的数学工具之一,能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学基础的。变分原理以变分形式表示物理定律,即在满足一定约束条件的所有可能的物体运动状态中,真实的运动状态使某物理量(如势能泛函)取极值或驻立值[1-5]。变分问题可以等价地转换为微分方程问题,即物理问题可以有变分原理和微分方程两种等价的表示方法[2]。
变分法的早期思想源于Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出的*速降线命题,并于1697年得以解决。关于变分法的一般理论,是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的,称为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigliano提出了*小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理的论文,后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作,此工作被称为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表《余能理论》论文[8]。胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文,日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与胡海昌相类似的工作,此工作被称为胡–鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。此后,钱伟长提出了用Lagrange乘子构造广义变分原理的方法。
在力学分析中,变分原理之所以非常重要,至少有三方面的因素:物理学中存在Lagrange极小值原理;许多物理问题的域内平衡微分方程和自然边界条件可以直接从变分原理导出;从变分原理出发,可以用简单的方式推导有限元等数值计算方法,也可以用变分原理直接计算许多问题的数值解。
变分原理是求解泛函驻立值的原理,泛函可以理解为函数的函数。函数是变量与变量之间的关系,泛函则是变量与函数之间的关系。在应用变分原理时,求泛函的一阶变分和二阶变分是*基本的两个变分运算。
1.2Euler-Lagrange方程
力学涉及的泛函极值问题中,许多泛函都能用积分表达。从这类泛函极值问题出发,可以导出平衡方程(Euler-Lagrange方程)、边界条件、几何方程及本构方程等。本节介绍如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题。
1.2.1一阶泛函的驻立值问题
1.2.1.1单自变量–单因变量
首先考虑单自变量–单因变量情形。
一阶泛函的驻立值问题如下:
在自变量x的区间内,确定因变量u(x),使其满足边界条件
(1.1)
并使泛函
(1.2)
取极值。
根据变分运算法则,对式(1.2)两边求变分[2]
(1.3)
式(1.3)右边转化为
(1.4)
式(1.4)右边第二项根据变分运算性质,有
(1.5)
因此式(1.4)进一步写为
(1.6)
(1.7)
式(1.7)右边第二项根据边界条件等于零,表示对x的全微分,根据复合函数求导的链式法则,任意函数对x的全微分的具体表达式为
(1.8)
由δu任意性知式(1.7)右边第一项被积函数恒等于零,即
(1.9)
式(1.9)称为Euler-Lagrange方程,函数称为方程的Lagrange函数。
1.2.1.2多自变量–多因变量
下面将单自变量–单因变量情形推广至多自变量–多因变量情形。
此时一阶泛函的驻立值问题为:
在自变量,的集合内,确定因变量,使其满足边界条件
(1.10)
其中表示V的边界,并使泛函
(1.11)
取极值。式(1.11)中表示u的一阶偏导的全体。
为便于表示,引入如下记法:第i个自变量记为xi,第j个因变量记为,第j个因变量对第i个自变量的偏导记为;乘积式子中使用求和约定,例如
同样,对式(1.11)求变分
(1.12)
(1.13)
根据变分性质,因此式(1.13)化为
(1.14)
将式(1.14)代入式(1.12),得到
(1.15)
对式(1.15)右边第二项分部积分,得到
(1.16)
由边界条件知边界为零,表示对的全微分,根据复合函数求导的链式法则,任意函数对xi的全微分的具体表达式为
(1.17)
由任意性知式(1.16)右边第一项被积函数为零,即
(1.18)
式(1.18)为Euler-Lagrange方程组,注意第二项需对i求和。为该方程组的Lagrange函数。
1.2.2高阶泛函的驻立值问题
考虑多自变量–多因变量情形下s阶泛函的驻立值问题:
在自变量,的集合内,确定因变量,使其满足边界条件
(1.19)
其中,表示V的边界,并使泛函
(1.20)
取极值。式(1.19)中u(i)表示u的i阶偏导的全体。
对式(1.20)求变分
(1.21)
其中
(1.22)
根据变分性质,因此式(1.22)化为
(1.23)
将式(1.23)代入式(1.21),得
(1.24)
若对分部积分,并利用边界条件(1.19),有
(1.25)
其中d/dxi表示对xi的全微分,根据复合函数求导的链式法则,任意函数,对的全微分的具体表达式为
(1.26)
依次在式(1.25)中取,并代入式(1.24),得到
(1.27)
由任意性知被积函数为零,即
(1.28)
式(1.28)为Euler-Lagrange方程组,注意第二项之后各项均需对相同指标求和。为该方程组的Lagrange函数。
1.3微分算子
微分算子是对函数的微分运算的抽象表述。本节介绍常用的两个微分算子——全微分算子和Euler-Lagrange算子。
1.3.1全微分算子
考虑式(1.28)中对xi的全微分,由于式(1.26)中每一项均为关于函数G的微分运算,将G提出,得
(1.29)
对G的微分运算抽象出来,简单记为Di,称为全微分算子[14]。
定义1.1对变量xi的全微分算子为
(1.30)
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