第1章 数学解题的意义
数学学习是个体以自己数学认知结构的变化适应数学知识体系发展变化的过程，即个体数学活动经验的获得和累积或数学认知结构的构建过程(章建跃，2001).显然在这个过程中，必须有“数学活动经验”，而在此的“经验”，更多的是解决问题，即数学解题活动.这种解题过程建构数学认知结构，从而提高数学能力，也相应提高数学问题解决能力.
1.1 数学学习与解题
数学学习是一个复杂的心理过程，而解题也是数学学习中的一个环节.作为具有高度概括性、抽象性、应用性的一门学科，数学的学习也具有一定的特殊性，既有直观感知的一面，又有抽象概括的高度;既有直接应用的便捷，又有逻辑推理的难度.数学解题是学习过程中的重要环节，一方面可以巩固知识，另一方面可以推进对数学的理解，从而为继续学习做好铺垫;反之，数学学习的完善也进一步提高学习者的解题能力，二者密切相关，缺一不可.
1.1.1 数学学习的一般过程
数学学习过程可以从两个角度来分析，一方面是学习者在数学认知过程中的变化，也就是学生对数学信息的识别、加工、贮存、提取、应用的过程;另一方面就是非认知因素的变化过程，即数学情感、兴趣、动机、意志等方面，这对于学生的数学认知也是至关重要的，或促进数学能力的发展，或抑制.
例1-1 数列的概念学习.
*先给出引例：传说印度有个发明家发明了国际象棋，国王玩得很开心，于是决定奖励这个发明家，发明家没有向国王要金银珠宝，他的要求是让国王在棋盘上放麦粒，但是规定在第一格里放一颗麦粒，后面的格子里放的麦粒数是前面的两倍，国王一笑，连忙答应，你认为国王能满足这位发明家的要求吗?
学生面临一个问题，既熟悉而又陌生，看似简单的指数幂的运算，但是随着指数的增大，数据增大，和一般的计算不同.
当然，这是数列概念学习的一个引例，其实还有下列问题：
(1);
(2);
(3).
学生发现这样的一组数据，有着一定的特征，而不是简单的罗列.这个概念的学习过程，实际是学生解决问题的过程：观察、归纳、猜想、得到结论.学生的数学学习，可以参考图1-1.
图1-1
事实上，数学学习是一个复杂的过程，以上我们只是做了简单的分析.有意义学习可以从概念学习、命题学习、符号学习等角度讨论.而学习又分为不同的类型：上位学习、并列学习、下位学习等，这是学习的认知过程分析.不过，无论怎样的学习过程，学生的数学思维和学习是相辅相成的，而数学思维是问题解决的核心.
1.1.2 数学学习中的解题
数学学习中的解题，不但能巩固新知，检验学习的效果，更重要的是促进了数学学习的发展.学习活动*终是通过个体内在的认知活动得以实现的，加涅认为，学习的过程由下面的步骤组成：
(1)注意——对于相关刺激的“接受”，后者既可以是言语的，也可以是直观的;
(2)预期——引向学习目标，即如何去获得某种动作技能、或学会解决某个问题;
(3)回忆——把有关的信息提取到短时记忆之中;
(4)选择性知觉——将刺激转换成对象特征的形式，以便贮存于短时记忆中;
(5)语义编码——将刺激特征及有关信息贮存于长时记忆中;
(6)激活与反应——将贮存的信息提取到反应发生器;
(7)强化——反馈与强化;
(8)提示的激活——建立起新的提示以利于以后的回忆;
(9)一般化——将所学到的新知识应用于新的场合.
其中，前3个步骤为学习的准备，(4)-(7)为学习的获得和执行，(8)-(9)是学习的迁移.
在数学解题中，学习就发生了.因此，有很多教师认为，数学学习的过程以解题为主，这有积极的一面，然而解题只是数学学习中的一个环节，上述的9个步骤就可以看出学习的复杂性.
例1-2 方程的根与函数的零点.
问题：
1 求方程的根，画函数的图象.
2 求方程的根，画函数的图象.
3 求方程的根，画函数的图象.
4 观察函数的图象发现：方程的根、函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?
5 如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?
6 归纳函数零点的概念.
7 怎样判断函数是否有零点?
8 当函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点?
通过问题解决引入方程根和函数的零点，确实实现了数学学习的准备、概念的获得，并能为下一步的迁移做准备.所以有下面的结论：
1 先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图1-2).方程的两个实数根为.1，3.
2 方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图1-3).方程的实数根为1.
图1-2
图1-3
图1-4
3 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图1-4).
4 方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.
5 一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.(a)当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0).(b)当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0);(c)当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.
6 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
7 方程f(x)=0有实根.函数y=f(x)的图象与x轴有交点.函数y=f(x)有零点.
8 观察二次函数的图象，我们发现函数在区间(.2，1)上有零点.计算f(.2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间(2，4)同样如此.可以发现，函数在区间内有零点，它是方程的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数在(2，4)内有零点x=3，它是方程的另一个根.
当然，数学学习的内涵丰富，解题并不能使学生完全理解数学，如果处理不当，反而会造成误解.
例1-3 关于方程的根和函数的零点的例题及变式训练.
例1-3-1 已知函数分别满足下列条件，求实数a的取值范围.
(1)函数有两个零点;
(2)函数有三个零点;
(3)函数有四个零点.
分析因为函数的零点个数不易讨论，所以可转化为方程的根的个数来讨论，即转化为方程的根的个数问题，再转化为函数与函数h(x)=a的交点个数问题.
解 设和分别作出这两个函数的图象(图1-5)，它们交点的个数，即函数的零点个数.
(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.
(2)若函数有三个零点，则a=4.
(3)函数有四个零点，则0<a<4.
变式训练
变式1判断函数零点的个数.
解 通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图象(图1-6).
函数的图象与x轴有两个交点，所以函数有两个零点.
图1-5
图1-6
变式2 求证：函数有两个零点.
证法一 因为一元二次方程的判别式，
所以 一元二次方程有两个不相等的实根，所以函数有两个零点.
证法二 因为一元二次方程可化为，所以一元二次方程有两个不相等的实根.所以函数有两个零点.
证法三 因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即，所以函数有两个零点.如图1-7.
例1-3-2 若关于x的方程的一个根在内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.
如果用求根公式与判别式来做，运算量很大，能否将问题转化?借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.画出函数的图象观察分析.
解 设f，则f(x)为开口向上的抛物线，如图1-8.
图1-7
图1-8
因为f(x)=0的两根分别在区间内，所以
即图1-9
故所求a的取值范围是.
变式1 关于x的方程的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围.
解 设，图象为开口向上的抛物线(图1-9).
因为 方程的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数的零点一个大于2，另一个小于2.即函数的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.
